统计史话 | 光辉的中国数学史:《杨辉算法》与南宋的山田丈量

来源:《中国经济史研究》  发布时间:2018-07-22

  (编者按)中华文明不仅孕育了伟大的人文经典,而且在自然科学领域也长期领先世界。其中,《杨辉算法》作为中国古代数学的光辉思想和理论,就曾经极大地推动了南宋时期经济的发展。《杨辉算法》包括《乘除通变本末》《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》3部书,此外还有《日用算法》残卷,它们是南宋实用算书的代表作。

  作者通过撰写《杨辉算书与南宋社会经济诸关系初探》一文,主要围绕山间坡地与田亩计量、土地买卖与田亩比类算题、从头子钱和不系省钱看南宋的杂税、南宋的稻谷产量与稻谷出米率、月息与南宋江浙地区的借贷关系、物价与南宋经济的发展等问题,初步揭示了杨辉算书与南宋诸多经济现象之间的密切关系。本文节选该文《<田亩比类乘除捷法>与南宋的山田丈量》一章,仅作介绍。

网络图

  南宋人地矛盾主要有两种表现形式:人多地少与人稀地广。前者主要分布在江浙、福建、四川平原等人口密度较高的少数经济发达区域,如婺州“浦江居山僻间,地狭人众,一寸之土垦辟无遗”;福建南平“四望无平地,山田级级高”。后者则主要分布在湖北、广南东西两路等地,如南宋时“湖北地广人稀,耕种灭裂,种而不莳”;又“广南两路,自潮州而南,居民鲜少,山荒甚多”,等等。

  因杨辉系钱塘(今浙江杭州)人,长期生活在台州(今浙江临海)、苏州、钱塘等地,对这一带地区的人地矛盾深有感触。由于耕地与赋税关系密切,且是宋代最敏感和最复杂的民生问题之一,故各层士人关注颇多。我们知道,丈量田亩是政府征收赋税的基础。从这个角度看,杨辉著《田亩比类乘除捷法》关乎国计民生,意义非同寻常。为了方便丈量,宋代的田亩以“直田”为常态,至于“直田”的形状,近似“井田”。然而,南宋田亩的情形相当复杂,如宣和元年(公元1119年),北宋统治者有“浙西逃田、天荒、草田、葑茭荡、湖泺、退滩等地,皆计籍召佃立租,以供应奉”之令。至于这些田亩的形状是个什么样子,史载不详,故无法确知。

  宋代山区的农业开发应是当时最活跃的经济领域,也是缓解人口压力的重要出路之一。大量人口向山区转移,必然会出现“深山穷谷,人迹所不到,往往有民居”的情况。由于山区自然地理的限制,人们开荒只能因山而宜,于是梯田这种新的田亩形式应运而生。漆侠《宋代经济史》及韩茂莉《宋代农业地理》特别讲到福建之外的东南丘陵山地,如徽州、台州、严州及明州等地,梯田已经非常普遍了。据陈耆卿统计,台州田亩有田(指水田)、地和山三种类型,其中田有2628283亩,地有948222亩,山有1753538亩,山与地的和比田多。明州山区居民“从山巅直到水湄,‘累石堑土’,将所有坡地都建为梯田”,反映了梯田使东南丘陵山地生态环境的变化十分显著。在这里,我们不拟讨论梯田对东南丘陵山地生态环境所造成的严重后果,因为在当时特定历史条件下,对于广大山居民众来说,如何生存和繁衍才是头等重要的事情。当然,通过“累石堑土”开出来的山田,田面大小不一,且形状亦各不相同,有些小的山田甚至“指十数级不能为一亩”,然其耕种的劳动强度却很大,如皖南山区有“凿山而田,高耕入云者,十半其力”之说。可惜,载有福建、浙江等山田面积与形状的宋代《鱼鳞图册》实物,今已不存。不过,由明代传世的《鱼鳞图册》知,徽州梯田“层累而上”,山田单位面积小,土地清丈不易。故此,程大位在《算法统宗》卷3中绘制有“新制丈量步车图”,以解决各种几何田亩的清丈问题。经过汇总,程大位共给出了22种几何田亩的计算问题,即方田、直田、圆田、覆月田、弧矢田、圭形田、三角田、梭形田、斜圭田、梯形田、斜形田、眉形田、牛角田、榄形田、三广田、勾股田、四不等形田、五不等田、倒顺二圭田、三圭形田、六角形图田和八角形图田等。有学者认为,上述几何田亩的算法,是程大位“总结了徽州土地丈量的经验”。例如,《鱼鳞图册》所载徽州梯田之1号田亩仅有5分5厘多,却被分割为12级地块,而另1号田亩仅仅才2分2厘,则被分割为15级地块。恰如漆侠所言,这是“在山石的罅隙中耕锄”。既然如此,那么我们就可以说,杨辉《田亩比类乘除捷法》同样是总结了台州、明州等地土地丈量的实际经验。其讲的虽是数学问题,但折射出来的却是南宋最为迫切的民生问题,即如何解决山地居民的生计问题。在这个历史过程中,自然界不得不为之付出巨大的代价。

  (原作配图)

       诚如宋人所言,山地田亩的产量一般都不高,严州山地田亩“苗稼疏薄”,所收常“不足食”。然而,对于宋代山地的粮食产量,我们应以历史和辩证的眼光来看待。韩茂莉指出,东南丘陵山区的开发有两点值得注意:第一,“在山区的农业开发过程中,人们首先利用的土地一般是自然条件最好的山间盆地,然后逐渐向山麓地带推进,最后延伸到条件较差的坡地”。吕祖谦曾针对严州的山田与水田的分布状况,作出“山居其八,田居其二”的估算,也就是说,水田与山地(指旱地)的比例为2:8。当然,在这“居八”的份额里,山间盆地和山麓硗确之地的产量是有高低差异的。第二,从“烧畲”到“细种”,耕作技术发生了变化。考察宋代明州、严州、处州、温州和歙州等人口增长率,其中人口增长率超过100%的州有80%以上处于丘陵山区,所以“相对平原地区,丘陵山区呈现出人口高值增长的趋势”。可是,在“一寸之土,垦辟无遗”的特定背景下,想要山地养活更多的居民,惟有改进耕作技术一途。因此,陈著在《嵊县劝农文》中鼓励人们“细种为生”,变粗放为细作。此时,如何对丘陵山地田亩的产量进行科学评估,就显得愈来愈重要了。杨辉根据东南丘陵山地的不同形状,一共抽象和提炼出24种几何田亩(即田亩模型),成为田主赋税的基本量纲。具体内容见表1。

  上述东南丘陵山地田亩的几何模型,由于是来自实际的丈量经验,如“台州量田图”中有曲尺田、箭筈田和箭翎田等,又台州黄岩县围量田图有梭田棣,及台州量田图有牛角田等,可以说基本上囊括了南宋“经界”过程中所遇到的各种形状的田亩。一旦这些实际问题被模型化之后,人们就又针对性地建立起一套符合简捷原则的解题方法。从《九章算术》到《田亩比类乘除捷法》,一以贯之,中国算学家形成了具有中国特色的数学逻辑体系,即先“从实际生活中分析出数量关系,建立数学模型”,然后再“从研究具体的数学问题入手,通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法”。当然,在杨辉看来,“解决问题的数学方法”不能复杂,也不能不易学习和掌握。所以,鉴于几何田亩与田亩产量的科学评估之密切关联,杨辉除了重点凸显《田亩比类乘除捷法》的实用价值外,更加追求算法的简捷与精确。例如,杨辉把属于“田亩”的概念直接用于带从开抽象的方、益积开方、减从开方和益隅开方等一般算法之中,从而使那些具体概念演变为一套以“机械化”为特色的求解代数方程的方法,不仅易于操作,而且更易于推广。这样,《田亩比类乘除捷法》就成为中国古代实用数学的一部典型著作,它对于元明清乃至我国现代数学的发展都具有重要的典范意义。华罗庚在谈到“优选”思想的精髓时说:“在具有各种互相制约、互相影响的因素的统一体中,寻求一个最合理(依某一目的,如最经济,最省人力)的解答便是一个数学问题,这就是‘多、快、好、省’的具体体现。”尽管华罗庚与杨辉生活在不同的历史空间,但是他们的数学思想却是一致的和可通约的。

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